【題目】如圖3，是一個(gè)直角梯形，，為邊上一點(diǎn)，、相交于，，，．將△沿折起，使平面⊥平面，連接、，得到如圖4所示的四棱錐．

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求直線與面所成角的余弦值．

【答案】(1)見解析(2)

【解析】【試題分析】(I)在中,求得,由此證得,,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,即,由此可證得平面.(2) O為原點(diǎn)，OA、OD、OB所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò)計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算得線面角的正弦值,再利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為余弦值.

【試題解析】

（Ⅰ）在中，，，所以

同理，從而，

又因?yàn)?/span>，所以是平行四邊形，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面=AE，，

所以平面

又平面，所以

，

所以

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，直線OA、OB、OD兩兩互相垂直，因此，以O為原點(diǎn)，OA、OD、OB所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)

則，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

解得，，取

所以直線與面所成角的余弦值為．

（方法二）由（Ⅰ）可知，四邊形的面積

連接，則△的面積，

三棱錐的體積

△的面積

設(shè)到平面的距離為，則，

直線與面所成角的正弦值為，余弦值為

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（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間(10,15)內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， 平面， ， ， ， 分別是， 的中點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段長(zhǎng)的最小值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據(jù)題意易得，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，又，因此得平面，從而得證（2）先找到EH什么時(shí)候最短，顯然當(dāng)線段長(zhǎng)的最小時(shí)， ，在中， ， ， ，∴，由中， ， ，∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析：（1）證明：∵四邊形為菱形， ，

∴為正三角形.又為的中點(diǎn)，∴.

又，因此.

∵平面， 平面，∴.

而平面， 平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如圖， 為上任意一點(diǎn)，連接， .

當(dāng)線段長(zhǎng)的最小時(shí)， ，由（1）知，

∴平面， 平面，故.

在中， ， ， ，

∴，

由中， ， ，∴.

由（1）知， ， 兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又， 分別是， 的中點(diǎn)，

可得， ， ， ，

， ， ，

所以， .

設(shè)平面的一法向量為，

則因此，

取，則，

因?yàn)?/span>， ， ，所以平面，

故為平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓： 的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與直線垂直，垂足為點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

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