【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1) 解析式為f(x)=ex-x2-1;(2)見解析;(3)實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,e-2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,再結(jié)合,解方程組得(2)作差函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性確定其最小值,即證得不等式,(3)先分離變量,轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=的最小值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求g(x)單調(diào)性,由單調(diào)性確定其最小值取法,即得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
試題解析:(1)解 ∵f(x)=ex-x2+a,
∴f'(x)=ex-2x.
由已知,得
解得
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=ex-x2-1.
(2)證明 令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,則φ'(x)=ex-1.
由φ'(x)=0,得x=0.
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增.
故φ(x)min=φ(0)=0,從而f(x)≥-x2+x.
(3)解 f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立>k對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立.
令g(x)=,x>0,
則g'(x)=
=
=.
由(2)可知當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex-x-1>0恒成立,
由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1.
故g(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.
故k<g(x)min=g(1)=e-2,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,e-2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某校矩形的航天知識(shí)競(jìng)賽中,參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1:3,且成績(jī)分布在范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎(jiǎng),按文理科用分層抽樣的放發(fā)抽取200人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)填寫下面的列聯(lián)表,能否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”;
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從參賽學(xué)生中,任意抽取3名學(xué)生,記“獲獎(jiǎng)”學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,是平行四邊形,,, ,,,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年12月,針對(duì)國(guó)內(nèi)天然氣供應(yīng)緊張的問題,某市政府及時(shí)安排部署,加氣站采取了緊急限氣措施,全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅(jiān)戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況,對(duì)該地區(qū)某些年份天然氣需求量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了相應(yīng)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合年度天然氣需求量 (單位:千萬(wàn)立方米)與年份 (單位:年)之間的關(guān)系.并且已知關(guān)于的線性回歸方程是,試確定的值,并預(yù)測(cè)2018年該地區(qū)的天然氣需求量;
(Ⅱ)政府部門為節(jié)約能源出臺(tái)了《購(gòu)置新能源汽車補(bǔ)貼方案》,該方案對(duì)新能源汽車的續(xù)航里程做出了嚴(yán)格規(guī)定,根據(jù)續(xù)航里程的不同,將補(bǔ)貼金額劃分為三類,A類:每車補(bǔ)貼1萬(wàn)元,B類:每車補(bǔ)貼2.5萬(wàn)元,C類:每車補(bǔ)貼3.4萬(wàn)元.某出租車公司對(duì)該公司60輛新能源汽車的補(bǔ)貼情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
為了制定更合理的補(bǔ)貼方案,政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補(bǔ)貼情況,在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本,再?gòu)?輛車中抽取2輛車進(jìn)一步跟蹤調(diào)查,求恰好有1輛車享受3.4萬(wàn)元補(bǔ)貼的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: ,其左右焦點(diǎn)為、,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于, 兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為, 的中垂線與軸和軸分別交于、兩點(diǎn),且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)記的面積為, (為原點(diǎn))的面積為,試問:是否存在直線,使得?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓: 與拋物線: 相交于, 兩點(diǎn),分別以點(diǎn), 為切點(diǎn)作圓的切線.若切線恰好都經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題得設(shè)A, ,聯(lián)立圓E和拋物線得: ,代入點(diǎn)A得,又AF為圓的切線,故,由拋物線得定義可知:AF=,故化簡(jiǎn)得: ,將點(diǎn)A代入圓得: ,而=,故故選A
點(diǎn)睛:此題幾何關(guān)系較為復(fù)雜,我們根據(jù)問題可知借此題關(guān)鍵為找到p和r的關(guān)系,我們可根據(jù)圓和拋物線相交結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)結(jié)論綜合計(jì)算可得其關(guān)系,從而求解
【題型】單選題
【結(jié)束】
12
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線為,若直線在軸上的截距恒小于,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖3,是一個(gè)直角梯形,,為邊上一點(diǎn),、相交于,,,.將△沿折起,使平面⊥平面,連接、,得到如圖4所示的四棱錐.
(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)求直線與面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年5月,來(lái)自“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了中國(guó)的“新四大發(fā)明”:高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購(gòu)。為拓展市場(chǎng),某調(diào)研組對(duì)甲、乙兩個(gè)品牌的共享單車在5個(gè)城市的用戶人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
城市 品牌 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
甲品牌(百萬(wàn)) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(百萬(wàn)) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
(Ⅰ)如果共享單車用戶人數(shù)超過(guò)5百萬(wàn)的城市稱為“優(yōu)質(zhì)潛力城市”,否則“非優(yōu)”,請(qǐng)據(jù)此判斷是否有85%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)潛力城市”與共享單車品牌有關(guān)?
(Ⅱ)如果不考慮其它因素,為拓展市場(chǎng),甲品牌要從這5個(gè)城市中選出3個(gè)城市進(jìn)行大規(guī)模宣傳.
①在城市Ⅰ被選中的條件下,求城市Ⅱ也被選中的概率;
②以表示選中的城市中用戶人數(shù)超過(guò)5百萬(wàn)的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
下面臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式: K2=,n=a+b+c+d
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