Question

已知函數(shù)f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）．
（1）寫出函數(shù)f（x）的振幅，周期，單調(diào)減區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=1+2sin（2x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到f（x）的圖象？
（3）若不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接寫出振幅，由周期公式求得周期，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的減區(qū)間；
（2）化f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）=1+2sin2（x-

π

6

），根據(jù)x的變化得答案；
（3）求出f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值，由m+2大于該最大值得答案．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）的振幅A=2，
周期T=

2π

2

=π，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，得

5π

12

+2kπ≤x≤

7π

12

+2kπ，k∈Z．
∴函數(shù)的減區(qū)間為：[

5π

12

+2kπ，

7π

12

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f（x）=1+2sin（2x-

π

3

）=1+2sin2（x-

π

6

），
∴函數(shù)g（x）=1+2sin2x的圖象向右平移

π

6

個單位可以得到f（x）的圖象；
（3）∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，f（x）_max=3．
不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
則m+2＞3，即m＞1．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象好性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的圖象平移，訓(xùn)練了三角函數(shù)最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．