Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，a_n+1=

3an

2an+3

（1）證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列并求a_n的通項；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n•a_n=3（1-

1

2n

），求數(shù)列{b_n}的前n和．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)遞推數(shù)列的關系，結合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列并求a_n的通項；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n和．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

3an

2an+3

，
∴取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+

2

3

，
∴{

1

an

}是等差數(shù)列，公差d=

2

3

，首項為

2

3

，
則

1

an

2

3

+

2

3

（n-1）=

2

3

n
則a_n=

3

2n

．
（2）∵b_n•a_n=3（1-

1

2n

），
∴b_n=2n（1-

1

2n

）=2n-

n

2n-1

，
∴數(shù)列{b_n}的前n和S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+4+…+2n）+（1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

）=n（n+1）+（1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
設T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
則

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
兩式相減得

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2（1-

1

2n

）-

n

2n

，
即T_n=4（1-

1

2n

）-

2n

2n

，
則S_n=n（n+1）+4（1-

1

2n

）-

2n

2n

=n2+n-4+

2+n

2n-1

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法，以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的運算能力．