Question

已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線C：y²=4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖
（1）證明：

OM

•

OP

為定值；
（2）若△POM的面積為

5

2

，求向量

OM

與

OP

的夾角；
（3）證明直線PQ恒過一個定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)點M（

y12

4

，y1），P（

y22

4

，y2），由已知條件推導(dǎo)出

y1

y12+4

=

1

y1+y2

，由此能證明

OM

•

OP

為寶值5．
（II）設(shè)∠POM=α，則|

OM

|•|

OP

|•cosα=5，由此能求出

OM

與

OP

的夾角．
（Ⅲ）設(shè)點Q（

y32

4

，y3），由已知條件推導(dǎo)出y₁y₃+y₁+y₃+4=0，由此能證明直線PQ過定點E（1，-4）．

解答： （I）證明：設(shè)點M（

y12

4

，y1），P（

y22

4

，y2），
∵P、M、A三點共線，
∴k_AM=k_PM，即

y1

y1 4 +1

=

y1-y2

y12 4 - y22 4

，
∴

y1

y12+4

=

1

y1+y2

，∴y₁y₂=4，…（2分）
∴

OM

•

OP

=

y12

4

•

y22

4

+y1y2=5．…（5分）
（II）解：設(shè)∠POM=α，則|

OM

|•|

OP

|•cosα=5，
∵S_△POM=

5

2

，∴|

OM

|•|

OP

|•sinα=5，
∴tanα=1．…（8分）
又α∈（0，π），∴α∈（0，π），∴α=45°，
∴

OM

與

OP

的夾角為45°．…（10分）
（Ⅲ）證明：設(shè)點Q（

y32

4

，y3），∵M、B、Q三點共線，∴k_BQ=k_QM，
∴

y3

y32 4 +1

=

y1-y3

y12 4 - y32 4

，∴

y3+1

y32-4

=

1

y1+y3

，
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=y32 -4，即y₁y₃+y₁+y₃+4=0，
∵y₁y₂=4，y1=

4

y2

，∴

4

y2

•y3+

4

y2

+y3+4=0
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0，（*）…（12分）
∵k_PQ=

y2-y3

y22 4 - y32 4

=

4

y2+y1

，
∴直線PQ的方程是y-y2=

4

y2+y3

(x-

y22

4

)，
即（y-y₂）（y₂+y₃）=4x-y22，
即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x，
由（*）式，-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，
代入上式，得（y+4）（y₁+y₂）=4（x-1），
∴直線PQ過定點E（1，-4）．

點評：本題考查向量的數(shù)量積為定值的證明，考查兩向量的夾角的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意向量的數(shù)量積公式的合理運用．