Question

16．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是曲線$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，曲線上一點(diǎn)與F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是16，曲線上的點(diǎn)到F₁的最小距離為2，則n=4或5．

Answer 1

分析 由橢圓的方程分類求出橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)及半焦距，再由三角形的周長(zhǎng)是16，曲線上的點(diǎn)到F₁的最小距離為2列關(guān)于m，n的方程組求得n的值．

解答 解：由曲線$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0），
當(dāng)m＞n時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，此時(shí)a=m，2a=2m，b=n，c²=a²-b²=m²-n²，
∴$c=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$．
由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{2m+2\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}=16}\\{m-\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得：m=5，n=4；
當(dāng)m＜n時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，此時(shí)a=n，2a=2n，b=m，c²=a²-b²=n²-m²，
∴$c=\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}$．
由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{2n+2\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}=16}\\{n-\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得：m=4，n=5．
∴n的值為4或5．
故答案為：4或5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是注意分類討論，是中檔題．