Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函數(shù)，可得f（-1）=f（1）．解出即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性、偶函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1）．
∴l(xiāng)og₄5+k=log4

5

4

-k，
化為2k=-1，解得k=-

1

2

．
∴f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足偶函數(shù)的定義．
（2）f^′（x）=

4x

4x+1

-

1

2

=

4x-1

2(4x+1)

．
當(dāng)x≥0時(shí)，f^′（x）≥0，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，而函數(shù)f（x）又為偶函數(shù)．
∴f（x）≥f（0）=0．
∴當(dāng)m≥0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m有解，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．