如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（
2
，
6
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A，B為橢圓上不同的兩點，且直線AB垂直于x軸，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M，求點M的軌跡方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）把點（
2
，
6
2
）代入橢圓方程結(jié)合c=1及a2+b2=c2求得a2，b2的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，寫出直線AF和BN的方程，聯(lián)立求得M點的坐標(biāo)，在把A的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入橢圓方程后得M的軌跡方程．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1過點（
2
，
6
2
），且焦點為F（1，0），
∴
c=1
a2+b2=c2
2
a2
+
3
2b2
=1
，解得：a2=4，b2=3，
則橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）∵F（1，0）、N（4，0），設(shè)A（m，n），則B（m，-n）n≠0，
則直線AF的方程為：y=
n
m-1
(x-1)，
BN的方程分別為：y=
n
4-m
(x-4)，
則聯(lián)立方程解得點M的坐標(biāo)為x0=
5m-8
2m-5
，y0=
3n
2m-5
．
則m=
5x0-8
2x0-5
，n=
3y0
2x0-5
．
將點A（m，n）代入橢圓C中可得
x02
4
+
y02
3
=1．
∵m≠±2，
∴x0≠±2．
即點M的軌跡方程為
x2
4
+
y2
3
=1．（x≠±2）．
點評：本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線關(guān)系問題，訓(xùn)練了代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（x2+a）（a＞0）
（1）若a=2，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）令g（x）=f（x）-
2
3
x3，求證：在區(qū)間（0，
1
a
）上，g（x）存在唯一極值點．
（3）令h（x）=
f′(x)
2x
，定義數(shù)列{xn}：x1=0，xn+1=h（xn）．當(dāng)a=2且xk∈（0，
1
2
]（k=2，3，4…）時，求證：對于任意的m∈N*，恒有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+3a|x-1|，a∈R．
（1）若a=0，當(dāng)x∈[-1，3]時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)-1＜a＜1，且函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，若|x1-x2|=
3
，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，前n項和為Sn，且滿足前三項的和為9，前三項的積為15．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
1
Sn+n
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于點O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2
2
．
（1）證明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求三棱錐A-C1CD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，首項a1=3，且a1、a4、a13成等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N+）．
（1）求an和Sn；
（2）若bn=
an(Sn≤3an)
1
Sn
(Sn＞3an)
，數(shù)列{bn}的前n項和Tn．求證：3≤Tn＜24
11
60
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

現(xiàn)有一個尋寶游戲，規(guī)則如下：在起點P處有A、B、C三條封閉的單向線路，走完這三條線路所花費的時間分別為10分鐘、20分鐘、30分鐘，游戲主辦方將寶物放置在B線路上（參賽方并不知曉），開始尋寶時參賽方在起點處隨機選擇路線順序，若沒有尋到寶物，重新回到起點后，再從沒有走過的線路中隨機選擇路線繼續(xù)尋寶，直到尋到寶物并將其帶回至P處，期間所花費的時間記為X．
（1）求X≤30分鐘的概率；
（2）求X的分布列及EX的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-1．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義法證明；
（2）求f（x）在[0，3]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]（m＜n），當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱f（x）在[m，n]上是“和諧函數(shù)”，且[m，n]為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”，現(xiàn)有以下命題：
①f（x）=（x-1）2在[0，1]上是“和諧函數(shù)”；
②恰有兩個不同的正數(shù)a使f（x）=（x-1）2在[0，a]上是“和諧函數(shù)”；
③f（x）=
1
x
+k對任意的k∈R都存在“和諧區(qū)間”；
④存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使f（x）=sinx在[m，n]上是“和諧函數(shù)”；
⑤由方程x|x|+y|y|=1確定的函數(shù)y=f（x）必存在“和諧區(qū)間”．
所有正確的命題的符號是
 
．

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