Question

對于函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]（m＜n），當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱f（x）在[m，n]上是“和諧函數(shù)”，且[m，n]為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”，現(xiàn)有以下命題：
①f（x）=（x-1）²在[0，1]上是“和諧函數(shù)”；
②恰有兩個不同的正數(shù)a使f（x）=（x-1）²在[0，a]上是“和諧函數(shù)”；
③f（x）=

1

x

+k對任意的k∈R都存在“和諧區(qū)間”；
④存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使f（x）=sinx在[m，n]上是“和諧函數(shù)”；
⑤由方程x|x|+y|y|=1確定的函數(shù)y=f（x）必存在“和諧區(qū)間”．
所有正確的命題的符號是

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,新定義

分析：①x∈[0，1]時，f（x）的值域是[0，1]，是和諧函數(shù)；
②結(jié)合①知，得出恰有兩個正數(shù)a=1和a=

3+ 5

2

，滿足題意；
③由題意x＞0時，

f(m)=n f(n)=m

，求出k=0時有“和諧區(qū)間”，判定命題不成立；
④由x＞0時，sinx＜x恒成立，判定f（x）在[0，+∞）上不是“和諧函數(shù)”；
⑤x≥0且y≥0時，求出函數(shù)的“和諧區(qū)間”，判定命題是否正確．

解答： 解：對于①，當x∈[0，1]時，f（x）=（x-1）²是減函數(shù)，且值域是[0，1]，∴是和諧函數(shù)，命題正確；
對于②，令（a-1）²=a（a＞0），∴a=

3+ 5

2

，結(jié)合①知，恰有兩個正數(shù)a=1和a=

3+ 5

2

，滿足題意，∴命題正確；
對于③，x＞0時，若存在[m，n]為“和諧區(qū)間”，由單調(diào)遞減性，得

f(m)=n f(n)=m

，
即

1 m +k=n 1 n +k=m

，兩式相減得mn=1，∴k=0，即k=0時有“和諧區(qū)間”，∴命題錯誤；
對于④，∵x＞0時，sinx＜x恒成立，∴f（x）=sinx在[0，+∞）上不是“和諧函數(shù)”，
同理f（x）=sinx在（-∞，0]上不是“和諧函數(shù)”，∴命題錯誤；
對于⑤，當x≥0且y≥0時，y=

1-x2

，[0，1]是它的“和諧區(qū)間”，∴命題正確；
綜上，正確的命題是①②⑤．
故答案為：①②⑤．

點評：本題考查了新定義的問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，通過函數(shù)的性質(zhì)、圖象，結(jié)合舉例說明的方法，來解答本題，是綜合題．