Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+3a|x-1|，a∈R．
（1）若a=0，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)-1＜a＜1，且函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，若|x1-x2|=

3

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，可得兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，利用|x1-x2|=

3

，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³-3x²，則f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得x=0或x=2，
∴函數(shù)f（x）（-1，0）和（2，3）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴f_min（x）=f（2）=-4；
（2）f（x）=x³-3x²+3a|x-1|=

x3-3x2+3ax-3a，x≥1 x3-3x2-3ax+3a，x＜1

，
則f'（x）=

3x2-6x+3a，x≥1 3x2-6x-3a，x＜1

，令g（x）=3x²-6x+3a，h（x）=3x²-6x-3a，
∴g（1）=3a-3，h（1）=-3-3a，
∵-1＜a＜1，∴h（1）=-3-3a＜0．g（1）=3a-3＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1-

1+a

）和（1+

1-a

，+∞）上單調(diào)遞增，在（1-

1+a

，1+

1-a

）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)1-

1+a

和1+

1-a

，
由題意知，

1-a

+

1+a

=

3

，解得a=±

3

2

，
∴實(shí)數(shù)a的值為±

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值與最值，屬于中檔題．