Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+x，x≥0 x-ax2，x＜0

，設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為M．若[-

1

2

，

1

2

]⊆M，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（

  1- 5

  2

  ，0）∪（0，

  1+ 3

  2

  ）
• B、（

  1- 3

  2

  ，0）
• C、（

  1- 5

  2

  ，0）
• D、（-∞，

  1- 5

  2

  ）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：首先判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，可將函數(shù)化為f（x）=x+ax|x|，討論a≥0，由圖象平移可得，不等式無解，從而a＜0，再由單調(diào)性可得，f（a-

1

2

）＜f（-

1

2

）且f（a+

1

2

）＜f（

1

2

），解出不等式，求其交集即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

ax2+x，x≥0 x-ax2，x＜0

，則f（x）=x+ax|x|，
而f（-x）=-x-ax|-x|=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，
若a≥0，將圖象向左平移a個單位，
得到f（x+a）的圖象，恒在y=f（x）的圖象上方，
即f（x+a）＜f（x）不成立；故a＜0．
由于[-

1

2

，

1

2

]⊆M，f（x+a）＜f（x），則f（a-

1

2

）＜f（-

1

2

）且f（a+

1

2

）
＜f（

1

2

），化簡得，1+（a-

1

2

）（

1

2

-a）＞-

1

4

且1+（a+

1

2

）|a+

1

2

|＞

1

4

，（a＜0）
由于x|x|＞-

3

4

得到x＞-

3

2

，故有

1- 5

2

＜a＜0且

-1- 3

2

＜a＜0，
所以a的取值范圍是（

1- 5

2

，0）．
故選C．

點評：本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，以及圖象平移與不等式的關(guān)系，考查集合的包含關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．