Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，設(shè)直線PA的斜率為k．
（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）求△PMN，面積S的最大值，并指出對應(yīng)的點P的坐標(biāo)；
（3）對任意的k＞0，過點P作PA的垂線交橢圓于B，求證：A，C，B三點共線．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)寫出點M，N的坐標(biāo)，求出線段MN中點坐標(biāo)，根據(jù)線PA過原點和斜率公式，即可求出k的值；
（2）寫出與MN所在直線平行的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式等于0求出與MN所在直線平行且與橢圓相切的直線方程，進(jìn)一步求出P的坐標(biāo)及P到直線MN的距離，代入三角形面積公式得答案；
（3）設(shè)PB中點Q（x₀，y₀），利用點差法得到${k}_{PB}=-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，由PA⊥PB，得到${k}_{OQ}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{k}{2}$．然后結(jié)合PO=OA，PQ=QB，可得${k}_{AB}=\frac{k}{2}$．再求出${k}_{AC}=\frac{k}{2}$得A，C，B三點共線．

解答 （1）解：由題設(shè)知，a=2，b=$\sqrt{2}$，
故M（-2，0），N（0，-$\sqrt{2}$），
∴線段MN中點坐標(biāo)為（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過原點，
∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）解：∵M(jìn)（-2，0），N（0，-$\sqrt{2}$），∴${k}_{MN}=\frac{-\sqrt{2}-0}{0-（-2）}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)與MN平行的直線方程為y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}x+m$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}-\sqrt{2}mx+{m}^{2}-2=0$．
由△=$（-\sqrt{2}m）^{2}-4{m}^{2}+8=0$，解得：m=±2．
由題意可知，當(dāng)m=2時，直線$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2$與直線MN的距離最大，
最大值d=$\frac{|-4|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
即△PMN面積S有最大值，等于$\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=2$．
由${x}^{2}-2\sqrt{2}x+2=0$，解得x=$\sqrt{2}$，y=1．
∴P點坐標(biāo)為（$\sqrt{2}，1$）；
（3）證明：設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），PB中點Q（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$，
兩式作差可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，即${k}_{PB}=-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$．
∵PA⊥PB，∴k$•（-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}）=-1$，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{k}{2}$．
∴${k}_{OQ}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{k}{2}$．
∵PO=OA，PQ=QB，
∴OQ∥AB，即${k}_{AB}=\frac{k}{2}$．
∵${k}_{AC}=\frac{{y}_{A}-0}{{x}_{A}-{x}_{C}}=\frac{-{y}_{1}-0}{-{x}_{1}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}=\frac{k}{2}$．
∴k_AC=k_AB．
故A，C，B三點共線．

點評 此題是個難題．考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)，以及直線斜率的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了方程的思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．