Question

已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是（0，2）和（0，-2），點(diǎn)P是二次函數(shù)y=

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x2的圖象上的一個動點(diǎn)．
（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-2的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）設(shè)直線PM與二次函數(shù)y=

1

8

x2的圖象的另一個交點(diǎn)為Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM；
（3）過點(diǎn)P，Q分別作直線y=-2的垂線，垂足分別為H，R，取QH中點(diǎn)為E，求證：QE⊥PE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）首先假設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PM的長和點(diǎn)P到直線y=-2的距離，進(jìn)而比較得出直線與圓的位置關(guān)系．
（2）根據(jù)（1）中所求得出PH=PM，進(jìn)而得出PH∥MN∥QR，則Rt△PHN∽Rt△QRN，即可得出∠HNP=∠RNQ，求出即可．
（3）取PQ中點(diǎn)F，連接EF，EF=

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2

(QR+PH)，由PH=PM，QM=QR，則EF=

1

2

(QM+PM)=

1

2

QP，利用三角形一邊上的中線等于這邊的一半，此三角形是直角三角形，即可得出答案．

解答： （1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，

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x02)，
則PM=

x02+( 1 8 x02-2)2

=

( 1 8 x02+2)2

=

1

8

x02+2，
而點(diǎn)P到直線y=-2的距離為

1

8

x02-(-2)=

1

8

x02+2，
∴以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-2相切．
（2）證明：由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
∵PH，MN，QR都垂直于直線y=-2，
∴PH∥MN∥QR，
∴

QM

RN

=

MP

NH

，即

QR

RN

=

PH

HN

，
∴Rt△PHN∽Rt△QRN，
∴∠HNP=∠RNQ，
∴∠PNM=∠QNM．
（3）證明：取PQ中點(diǎn)F，連接EF，
則EF=

1

2

(QR+PH)．
又由上知，PH=PM，QM=QR，
所以EF=

1

2

(QM+PM)=

1

2

QP
即∠QEP=90°，
故QE⊥PE．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的判定等知識，利用數(shù)形結(jié)合作出輔助線再根據(jù)直角三角形的判定得出是解題關(guān)鍵．