Question

【題目】設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且.數(shù)列滿足：，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)，問是否存在整數(shù)，使數(shù)列為遞增數(shù)列？若存在求的值，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；. (2) (3)存在，

【解析】

（1）先由題意求出，再由時(shí)，，推出數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)；根據(jù)，得到，推出數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）先由（1）得到，根據(jù)錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果；

（3）先由（1）得，假設(shè)存在，滿足為遞增數(shù)列，得到對(duì)任意恒成立，列出不等式，分別討論為奇數(shù)，為偶數(shù)兩種情況，即可求出結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，解得，

當(dāng)時(shí)，由，及，

相減得，即，

解得或（舍）；即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，

故；

由得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，

又，故，所以.

（2）由（1）得.

所以，

，

相減得

從而；

（3）由（1）得，若存在，滿足為遞增數(shù)列，

即對(duì)任意恒成立，

由

得

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由得，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由得，

，故.