Question

18．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂．a(chǎn)₃；
（2）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)T_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，T_2n＞T_n+a對(duì)任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*）代入計(jì)算即可；
（2）通過對(duì)a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*）兩邊同時(shí)取倒數(shù)可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{5}$為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（3）通過記f（n）=T_2n-T_n可知f（n+1）-f（n）=$\frac{5（9n+25）}{（2n+5）（2n+6）（n+5）}$＞0，利用函數(shù)f（n）是關(guān)于n的增函數(shù)可知a＜f（1）=$\frac{5}{6}$．

解答 （1）解：依題意，a₂=$\frac{5{a}_{1}}{5+{a}_{1}}$=$\frac{5}{5+1}$=$\frac{5}{6}$，
a₃=$\frac{5{a}_{2}}{5+{a}_{2}}$=$\frac{5•\frac{5}{6}}{5+\frac{5}{6}}$=$\frac{5}{7}$；
（2）求證：∵a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{5+{a}_{n}}{5{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{5}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{5}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{5}$（n-1）=$\frac{n+4}{5}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{5}{n+4}$；
（3）解：由（2）可知，f（n）=T_2n-T_n
=$\frac{5}{n+5}$+$\frac{5}{n+6}$+…+$\frac{5}{2n+3}$+$\frac{5}{2n+4}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{5}{2n+5}$+$\frac{5}{2n+6}$-$\frac{5}{n+5}$
=$\frac{5（9n+25）}{（2n+5）（2n+6）（n+5）}$
＞0，
∴函數(shù)f（n）是關(guān)于n的增函數(shù)，
∵f（1）=T₂-T₁=a₂=$\frac{5}{6}$是f（n）的最小值，
∴a＜f（1）=$\frac{5}{6}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-∞，$\frac{5}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．