Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$是定義在上R的奇函數(shù)，則b的值為1．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)可得f（-x）+f（x）=0，代入整理由多項式系數(shù)相等可得ab的方程組，解方程組可得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$是定義在上R的奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，即$\frac{{e}^{-x}+a}{{e}^{-x}+b}$+$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$=0，
∴$\frac{1+a{e}^{x}}{1+b{e}^{x}}$+$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}+b}$=0，即（1+ae^x）（e^x+b）+（1+be^x）（e^x+a）=0，
整理可得（a+b）（e^x）²+2（ab+1）e^x+a+b=0
∴a+b=0且ab+1=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
當$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$時，函數(shù)的解析式為f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$，定義域為{x|x≠0}，不合題意．
故答案為：1．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，涉及方程組的解法，屬基礎(chǔ)題．