Question

5．為提倡市民節(jié)約用水，中國水利部確定每年的3月22日至28日為“中國水周”，某市統(tǒng)計局調(diào)查了該市眾多家庭的用水量情況，繪制了月用水量的頻率分布直方圖，如圖所示．
將月用水量落入各組的頻率視為概率，并假設每月的用水量相互獨立．
（1）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此，估計該地家庭的平均用水量及方差；
（2）求在未來連續(xù)3個月，有連續(xù)2個月的月用水量都不低于8噸，且另一個月的月用水量低于4噸的概率；
（3）①求月用水量低于8噸的概率；
②用X表示在未來3個月里用水量低于8噸的月數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布圖得先求出用水量為2噸、6噸、10噸、14噸、18號的家庭所占概率，由此能求出該地家庭的平均用水量和方差的估計值．
（2）利用相互獨立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未來連續(xù)3個月，有連續(xù)2個月的月用水量都不低于8噸，且另一個月的月用水量低于4噸的概率．
（3）①由頻率分圖能求出月用水量低于8噸的概率．
②由題意得X的可能取值為0，1，2，3，且X～（3，0.4），由此能求出隨機變量X的分布列數(shù)學期望E（X）．

解答 解：（1）由頻率分布圖得：
用水量2噸的家庭為0.0375×4=0.15，
用水量6噸的家庭為0.0625×4=0.25，
用水量10噸的家庭為0.075×4=0.3，
用水量14噸的家庭為0.05×4=0.2，
用水量18噸的家庭為0.025×4=0.1，
∴該地家庭的平均用水量的估計值為：2×0.15+6×0.25+10×0.3+14×0.2+18×0.1=9.4．
該地家庭的用水量方差的估計值為：（2-9.4）²×0.15+（6-9.4）²×0.25+（10-9.4）²×0.3+（14-9.4）²×0.2+（18-9.4）²×0.1=22.84．
（2）在未來連續(xù)3個月，有連續(xù)2個月的月用水量都不低于8噸，且另一個月的月用水量低于4噸的概率：
P=0.15×0.6×0.6+0.6×0.6×0.15=0.108．
（3））①月用水量低于8噸的概率P′=0.15+0.25=0.4．
②由題意得X的可能取值為0，1，2，3，且X～（3，0.4），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}0．{6}^{3}$=0.216，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}0.4×0．{6}^{2}$=0.432，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{4}^{2}×0.6$=0.288，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}0．{4}^{3}$=0.064，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

數(shù)學期望E（X）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．

點評 本題考查頻率直方圖的應用，考查平均值的方差的估計值的求法，考查概率及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，在歷年高考中都是必考題型之一．