Question

如圖，拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在y軸上，準(zhǔn)線l與圓x²+y²=1相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知直線m和拋物線C交于點(diǎn)A、B，命題P：“若直線m過(guò)定點(diǎn)（0，1），則

OA

•

OB

=-3”，請(qǐng)判斷命題P的真假，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程為：x²=2py，p＞0，由已知條件得圓心（0，0）到直線l的距離d=|0-（-

p

2

）|=1，由此能求出拋物線線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線m：y=kx+1，交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線C的方程x²=4y，得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0恒成立，由此利用韋達(dá)定理能證明命題P為真命題．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)拋物線C的方程為：x²=2py，p＞0，
其準(zhǔn)線l的方程為：y=-

p

2

．
∵準(zhǔn)線l與圓x²+y²=1相切．
∴圓心（0，0）到直線l的距離d=|0-（-

p

2

）|=1，
解得p=2．…4分
故拋物線線C的方程為：x²=4y．…5分
（Ⅱ）命題p為真命題
因?yàn)橹本�m和拋物線C交于A，B且過(guò)定點(diǎn)（0，1），
所以直線m的斜率k一定存在，…6分
設(shè)直線m：y=kx+1，交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立拋物線C的方程x²=4y，
得x²-4kx-4=0，△=16k²+16＞0恒成立，…8分
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…9分

OA

•

OB

=-4+

1

16

•（-4）²=-3，
∴命題P為真命題．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查命題真假的判斷和證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．