Question

大學(xué)畢業(yè)的小張到甲、乙、丙三個不同的單位應(yīng)聘，各單位是否錄用他相互獨立，其被錄用的概率分別為

4

5

、

3

4

、

2

3

（允許小張被多個單位同時錄用）
（1）小張沒有被錄用的概率；
（2）設(shè)錄用小張的單位個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和它的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)事件A為“小張被甲單位錄取”，B為“小張被乙單位錄取”，C為“小張被丙單位錄取”，由已知得P（A）=

4

5

，P（B）=

3

4

，P（C）=

2

3

，由對立事件概率計算公式能求出小張沒有被錄用的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）設(shè)事件A為“小張被甲單位錄取”，
B為“小張被乙單位錄取”，C為“小張被丙單位錄取”，
由已知得P（A）=

4

5

，P（B）=

3

4

，P（C）=

2

3

，
∴小張沒有被錄用的概率：
P=P（

.

A

.

B

.

C

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

C

）
=（1-

4

5

）（1-

3

4

）（1-

2

3

）
=

1

60

．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

C

）
=（1-

4

5

）（1-

3

4

）（1-

2

3

）=

1

60

．
P（ξ=1）=P（A

.

B

.

C

+

.

A

B

.

C

+

.

A

.

B

C）
=

4

5

×

1

4

×

1

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

1

5

×

1

4

×

2

3

=

3

20

，
P（ξ=2）=P（AB

.

C

+A

.

B

C+

.

A

BC）
=

4

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

2

3

=

13

30

，
P（ξ=3）=P（ABC）=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 60	3 20	13 30	2 5

∴Eξ=0×

1

60

+1×

3

20

+2×

13

30

+3×

2

5

=

133

60

．

點評：本題考查對立事件、相互獨立事件、互斥事件、概率、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計算，考查運用概率知識與方法解決實際問題的能力．