Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），下列結論錯誤的是（　　）

• A、函數(shù)f（x）一定存在極大值和極小值
• B、若函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，則x₂-x₁≥

  2 3

  3

• C、函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形
• D、函數(shù)f（x）一定存在三個零點

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先求出函數(shù)的導數(shù)，找到單調區(qū)間，列出表格，逐一排除，得出答案．

解答： 解：∵f′（x）=3x²+2ax-1．
∴△=4a²⁺12＞0，
∴f′（x）=0有兩解，不妨設為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：
①x=x₁時，函數(shù)f（x）取到極大值，x=x₂時，函數(shù)f（x）取到極小值，故選項A正確，
②函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 a2+3

3

≥

2 3

3

，故選項B正確，
③∵f（-

2

3

a-x）+f（x）=

4a3

9

+

2a

3

，f（-

a

3

）=

2a3

9

+

a

3

，∴f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），∴（-

a

3

，f（-

a

3

））為對稱中心，故選項C正確，
選項A，B，C都正確，利用排除法，選項D錯誤，
故選：D．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用，是一道綜合題．