Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+1

-ax（a∈R）
（1）求證：當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a≥1時，f′（x）=

x

x2+1

-a＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）由f′（x）=

x

x2+1

-a，0≤

x

x2+1

＜1，當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0；當(dāng)a≥1時，f′（x）＜0，因此，當(dāng)a≤0或a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

解答： 解：∵f（x）=

x2+1

-ax，
∴f′（x）=

x

x2+1

-a，
∵x∈[0，+∞），
∴0≤

x

x2+1

＜1，
（1）當(dāng)a≥1時，f′（x）=

x

x2+1

-a＜0，
當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）∵f′（x）=

x

x2+1

-a，0≤

x

x2+1

＜1，
當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0；當(dāng)a≥1時，f′（x）＜0，
因此，當(dāng)a≤0或a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．