【題目】已知拋物線C,點(diǎn)x軸的正半軸上,過點(diǎn)M的直線l與拋線C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

,且直線l的斜率為1,求證:以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切;

是否存在定點(diǎn)M,使得不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng),恒為定值?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見證明;(2)見解析

【解析】

寫出直線AB方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式計(jì)算值,并求出線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,證明該距離等于的一半,即可證明結(jié)論成立;設(shè)直線AB的方程為,并設(shè)點(diǎn)、,列出韋達(dá)定理,結(jié)合弦長(zhǎng)公式得出的表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式為定值得出m的值,從而可求出定點(diǎn)M的坐標(biāo).

當(dāng)時(shí),且直線l的斜率為1時(shí),直線l的方程為,設(shè)點(diǎn)、

將直線l的方程代入拋物線C的方程,消去y得,,

由韋達(dá)定理可得,

由弦長(zhǎng)公式可得,

線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,所以,線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4,

因此,以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切;

設(shè)直線l的方程為,設(shè)點(diǎn)、

將直線l的方程代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得,

由韋達(dá)定理可得,,

,同理可得,

所以,為定值,

所以,,即時(shí),恒為定值

此時(shí),定點(diǎn)M的坐標(biāo)為

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【題目】已知圓,圓內(nèi)一定點(diǎn),動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切.記動(dòng)圓圓心的軌跡為.

(Ⅰ)求軌跡方程;

(II)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交軌跡M,N兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)Q?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三上學(xué)期第八次考試】2017514日至15日,一帶一路國(guó)際合作高峰論壇在中國(guó)首都北京舉行,會(huì)議期間,達(dá)成了多項(xiàng)國(guó)際合作協(xié)議.假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品出口某國(guó)家的市場(chǎng)銷售量相等,該國(guó)質(zhì)量檢驗(yàn)部門為了解他們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取300個(gè)進(jìn)行測(cè)試,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率;

2)在抽取的這兩種品牌產(chǎn)品中,抽取壽命超過300小時(shí)的產(chǎn)品3個(gè),設(shè)隨機(jī)變量表示抽取的產(chǎn)品是甲品牌的產(chǎn)品個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望值.

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【題目】高鐵、網(wǎng)購(gòu)、移動(dòng)支付和共享單車被譽(yù)為中國(guó)的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國(guó)式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力,某移動(dòng)支付公司在我市隨機(jī)抽取了100名移動(dòng)支付用戶進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

每周移動(dòng)支付次數(shù)

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

4

3

3

7

8

30

6

5

4

4

6

20

合計(jì)

10

8

7

11

14

50

(1)如果認(rèn)為每周使用移動(dòng)支付超過3次的用戶“喜歡使用移動(dòng)支付”,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下,認(rèn)為是否“喜歡使用移動(dòng)支付”與性別有關(guān)?

(2)每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱為“移動(dòng)支付達(dá)人”,視頻率為概率,在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中,隨機(jī)抽取4名用戶,

①求抽取的4名用戶中,既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率;

②為了鼓勵(lì)女性用戶使用移動(dòng)支付,對(duì)抽出的女“移動(dòng)支付達(dá)人”每人獎(jiǎng)勵(lì)500元,記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為,求的數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

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1)估算一下本次參加考試的同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù);

2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);

3)已知樣本中有一半理科生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中理科生和文科生人數(shù)的比例.

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(1)求證: ;

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定長(zhǎng)為3的線段兩端點(diǎn)、分別在軸,軸上滑動(dòng),在線段上,且.

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn),從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與軌跡交于點(diǎn),,直線,的斜率分別記為,.

①求證:

②求的最大值.

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(2)若, ,求ABC的面積S.

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