【題目】已知圓，圓內(nèi)一定點，動圓過點且與圓內(nèi)切.記動圓圓心的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡方程；

（II）過點的動直線l交軌跡于M，N兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以線段MN為直徑的圓恒過點Q？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(I) ；(II)存在，恒過點Q(0，1).

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：，P點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，即可求得橢圓的標準方程；

（Ⅱ）利用特例先確定定點Q，再推廣到一般情況即可.

解:（Ⅰ）解：設動圓圓心，半徑為.

，

故點的軌跡為橢圓，

，

，

故圓心的軌跡方程為

(II)當l與x軸平行時，以線段MN為直徑的圓的方程為x2＋＝；

當l與y軸平行時，以線段MN為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.

由得

故若存在定點Q，則Q的坐標只可能為Q(0，1).

下面證明Q(0，1)為所求：

若直線l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

若直線l的斜率存在，設直線l：y＝kx－，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，

Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋

＝(1＋k2)·－·＋＝0，

∴⊥，即以線段MN為直徑的圓恒過點Q(0，1).

練習冊系列答案
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（1）求出曲線的普通方程；

（2）以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點為曲線的動點，求點到直線的距離的最小值.

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【題目】2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關鍵一年，有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

(Ⅰ)估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，有關部門為此次參加問卷調(diào)査的市民制定如下獎勵方案：

(i)得分不低于μ可獲贈2次隨機話費，得分低于μ則只有1次；

(ii)每次贈送的隨機話費和對應概率如下：

贈送話費(單元：元)

10

20

概率

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列和數(shù)學期望.

附： ，

若ZN(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ+σ)= 0.6826，P(μ－2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.

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【題目】兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20∶00至21∶00各時刻相見的可能性是相等的，則他們兩人在約定時間內(nèi)相見的概率為（ ）．

A. B. C. D.

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【題目】已知數(shù)列滿足，，.

（1）若，，，求的取值范圍；

（2）若是公比為的等比數(shù)列，，，，求的取值范圍；

（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值.

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