Question

定義運算：|

ab cd

|=ad-bc
（1）若已知k=1，解關(guān)于x的不等式|

x 1 1 x-k

|＜0
（2）若已知f（x）=|

x 1 -1 k-x

|，對任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤

5

4

k+

5

2

，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,新定義,分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由新定義，得到二次不等式，解得即可；
（2）由新定義，得到f（x），由于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤

5

4

k+

5

2

，則f（x）_max≤

5

4

k+

5

2

，對k討論，若

k

2

＜-1，若-1≤

k

2

≤1，若

k

2

＞1，運用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最大值，解不等式求出k的范圍．

解答： 解：（1）由k=1，不等式|

x 1 1 x-k

|＜0，
則為x（x-1）-1＜0，解得，

1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

，
則解集為（

1- 5

2

，

1+ 5

2

）；
（2）f（x）=|

x 1 -1 k-x

|=-x²+kx+1，
由于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤

5

4

k+

5

2

，
則f（x）_max≤

5

4

k+

5

2

，
f（x）的圖象開口向下，對稱軸為直線x=

k

2

，
①若

k

2

＜-1，即k＜-2，則f（x）在[-1，1]為減函數(shù)，
所以f(x)max=f(-1)=-k≤

5

4

k+

5

2

，解得k≥-

10

9

，所以k∈∅；
②若-1≤

k

2

≤1，即-2≤k≤2，則f(x)max=f(

k

2

)=

k2

4

+1≤

5

4

k+

5

2

，解得-1≤k≤6
所以-1≤k≤2；
③若

k

2

＞1，即k＞2，則f（x）在[-1，1]為增函數(shù)，
所以f(x)max=f(1)=k≤

5

4

k+

5

2

，解得k≥-10，所以k＞2．
綜上所述，k的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題和易錯題．