已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，a≠0，其中a∈N*，b∈N，c∈Z，并且b＞2a，函數(shù)y=f（sinx）（x∈R）最大值為2，最小值為-4，
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）已知a＞0，若對任意x1∈R，總存在x2∈（0，
3π
4
），使得f（x1）＞
a
2
cosx2-4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．
解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）開口向上，對稱軸x=-
b
2a
＜-1知，f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
故f（1）=a+b+c=2，f（-1）=a-b+c=-4，
所以b=3，a+3=-1，
又b＞2a，
故a=1，c=-2，
則f（x）=x2+3x-2．
（2）因?yàn)閤2∈（0，
3π
4
），
所以
a
2
cosx2-4∈（-
2
a
4
-4，
a
2
-4），
若對任意x1∈R，總存在x2∈（0，
3π
4
），使得f（x1）＞
a
2
cosx2-4恒成立，
那么f（x）min＞-
2
a
4
-4，-
17
4
＞-
2
a
4
-4，解得a＞
2
2
，
綜上a＞
2
2
．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過橢圓C：
x2
a2
+
y 2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，并與橢圓的長軸垂直，已知拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(-
2
3
，
2
6
3
)．
（1）求拋物線的方程和橢圓C的方程；
（2）若雙曲線與橢圓C共焦點(diǎn)，且以y=±
4
3
x為漸近線，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①
∫
2
-2
[
4-x2
+lg（
1+x2
-x）]dx=2π；
②函數(shù)y=3•2x+1的圖象可以由函數(shù)y=2x的圖象僅通過平移得到；
③函數(shù)y=
1
2
ln
1-cosx
1+cosx
與y=lntan
x
2
是同一函數(shù)；
④在△ABC中，若
AB
•
BC
3
=
BC
•
CA
2
=
CA
•
AB
1
，則tanA：tanB：tanC=3：2：1．
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（-1），f（a-1）的值；
（3）當(dāng)x∈[1，4]，求f（x）的最大值，最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了改善環(huán)境，某市打算在燃油中添加某種添加濟(jì)以減少污染．為了解添加劑作用，該市記錄了500臺使用新燃油機(jī)動車和另外500臺使用舊燃油機(jī)動車在一段時(shí)間內(nèi)的尾氣排放來作比較．提出假設(shè)：“新燃油不會使尾氣中的污染物減少”，計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表得P（K2≥3.841）=0.05，則下列結(jié)論：
①有95%把握認(rèn)為“新燃油會使機(jī)動車尾氣中的污染物減少”；
②若某機(jī)動車未使用新燃油，那么有95%的可能性排放污染物增加；
③這種添加劑減少污染的有效率為95%．
其中正確的序號是（　　）
A、①②B、①③C、②③D、①

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+bx+2．
（1）若f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，3]上最大值為8，求實(shí)數(shù)b的值；
（3）若函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，[p，q]⊆D，用分法T：p=x0＜x1＜x2＜…＜xn=q將區(qū)間[p，q]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得不等式|g（x1）-g（x0）|+|g（x2）-g（x1）|+|g（x3）-g（x2）|+…+|g（xn）-g（xn-1）|≤M恒成立，則稱函數(shù)g（x）在區(qū)間[p，q]上具有性質(zhì)σ（M）．試判斷當(dāng)b=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，3]上是否具有性質(zhì)σ（M）？若是，求M的最小值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=ax-1（a＞0且a≠1）過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)是（　�。�
A、（0，1）
B、（1，2）
C、（-1，0.5）
D、（1，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x），若在定義域內(nèi)存在x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則稱x0為函數(shù)f（x）的局部對稱點(diǎn)．
（1）若a∈R且a≠0，證明：函數(shù)f（x）=ax2+x-a必有局部對稱點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）=4x-m•2x+1+m2-3在R上有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義運(yùn)算：|
ab
cd
|=ad-bc
（1）若已知k=1，解關(guān)于x的不等式|
x1
1x-k
|＜0
（2）若已知f（x）=|
x1
-1k-x
|，對任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤
5
4
k+
5
2
，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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