Question

函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上有最大值14．
（1）求a的值；
（2）若a，b，c為不等于1的正數(shù)，a^x=b^y=c^z，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，求abc的值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令b=a^x構(gòu)造二次函數(shù)y=b²+2b-1，然后根據(jù)a的不同范圍（a＞1或0＜a＜1）確定b的范圍后可解；
（2）令a^x=b^y=c^z=m，則x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，代入

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求；

解答： 解：（1）令t=a^x，則a^2x=t²，
∴y=t²+2t-1=（t+1）²-2，對(duì)稱軸t=-1，
若0＜a＜1，則t=a^x是減函數(shù)，∴a^-1＞a，
∴0＜a＜t＜

1

a

，
∴y的圖象都在對(duì)稱軸t=-1的右邊，開口向上 并且遞增，
∴t=

1

a

時(shí)有最大值，
∴y=t²+2t-1=14，∴t²+2t-15=0，∴（t-3）（t+5）=0，
∵t＞0，∴t=

1

a

=3，a=

1

3

符合0＜a＜1；
若a＞1則t=a^x是增函數(shù)，此時(shí)0＜

1

a

＜t＜a，
y的圖象仍在對(duì)稱軸b=-1的右邊，∴還是增函數(shù)，t=a時(shí)有最大值，
∴y=t²+2t-1=14，
t＞0，∴t=a=3，符合a＞1；
綜上，a=

1

3

或a=3；
（2）令a^x=b^y=c^z=m，則x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，即為log_ma+log_mb+log_mc=0，
∴l(xiāng)og_mabc=0，∴abc=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及其應(yīng)用，考查分類討論思想．