Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右頂點分別為A、B，點M為C上不同于A、B的任意一點，則直線MA、MB的斜率之積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． -4
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得A和B點坐標，求得直線MA和MB的斜率，由M在橢圓上，x₀²=4-4y₀²，即可求得k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$．

解答 解：由題意得，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1焦點在x軸上，a=2，b=1，
設M（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-2，0），B（2，0），
直線MA的斜率k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，MB的斜率k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
又點M在橢圓上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}=1$（y₀≠0），x₀²=4-4y₀²，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
直線MA、MB的斜率之積-$\frac{1}{4}$，
故選C．

點評 本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，直線的斜率公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題．