Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）由正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，即a²=b²+c²+bc，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA求出A=120°
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，將C用B表示得到cosB+cosC=cosB+cos（60°-B）=cosB+cos60°cosB+sin60°sinB=

3

sin(60°+B)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象求出范圍．

解答： 解：（1）∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
由正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
即a²=b²+c²+bc，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
∴cosA=-

1

2

，
∴A=120°
（2）cosB+cosC
=cosB+cos（60°-B）
=cosB+cos60°cosB+sin60°sinB
=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

sin(60°+B)
∵0°＜B＜60°
∴60°＜60°+B＜120°
∴

3

2

＜cosB+cosC＜

3

cosB+cosC的范圍(

3

2

，

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形中的正弦定理、余弦定理及它們的應(yīng)用；考查求三角函數(shù)的取值范圍，屬于一道中檔題．