Question

設(shè)公比大于零的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，滿足b₁=1，Tn=n2bn，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）滿足b_n＞

λ

an

對所有的n∈N^*均成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等比數(shù)列的前n項和公式能求出公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由b₁=1，Tn=n2bn，求出T_n-1，由此利用累乘法能求出{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，則cn=

2n

n(n+1)

，由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵公比大于零的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，
即S₄=5S₂，q＞0，
∴

1-q4

1-q

=5×

1-q2

1-q

，
解得q=2，an=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，滿足b₁=1，Tn=n2bn，n∈N^*．
∴

Tn=n2bn Tn-1=(n-1)2bn-1

，
∴

bn

bn-1

=

n-1

n+1

（n＞1），
∴

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•

bn-2

bn-3

•…•

b2

b1

=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

=

2

n(n+1)

∴bn=

2

n(n+1)

，
當(dāng)n=1時也滿足．
∴bn=

2

n(n+1)

．
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，則cn=

2n

n(n+1)

，
cn+1-cn=

2n+1

(n+1)(n+2)

-

2n

n(n+1)

=

2n+1n-2n(n+2)

n(n+1)(n+2)

=

2n(n-2)

n(n+1)(n+2)

，
即c₁＞c₂=c₃＜c₄＜c₅＜…
當(dāng)n=2或3時，c_n的最小值是

2

3

．
∴λ＜

2

3

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．