Question

已知三棱錐P-ABC中，E．F分別是AC．AB的中點，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（Ⅰ）證明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）連接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F(xiàn)為AC、AB的中點，可得PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，可得PA⊥PC，進而可證明AB⊥面PCF，從而可得AB⊥PC，利用線面垂直的判定定理可證
（II）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC為所求的二面角，由（I）可得△PEF為直角三角形，Rt△PEF中，求解即可

解答： （Ⅰ）證明：連結CF．
∵△ABC，△PEF是正三角形且E，F(xiàn)為AC、AB的中點，
∴PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，CF∩PF=F，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC?平面PCF，
∴PC⊥AB，
∵AB∩AP=A，
∴PC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC為所求二面角的平面角．
設AB=a，則AB=a，
Rt△PEF中，PF=EF=

a

2

，CF=

3

2

a．
∴cos∠PFC=

a 2

3 2 a

=

3

3

．

點評：本小題主要考查空間線面垂直的關系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．