Question

6．已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=f（2ⁿ）（n∈N₊），且a₁=2．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）^{2}}$，求數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法得到數(shù)列的函數(shù)關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件判斷數(shù)列的單調(diào)關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)閍₁=f（2）=2，
令x=2^n-1，y=2，
則有f（2ⁿ）=2^n-1f（2）+2f（2^n-1）
=2ⁿ+2[2^n-2f（2）+2f（2^n-2）]
=2•2ⁿ+2²f（2^n-2）=2•2ⁿ+2²[2^n-3f（2）+2f（2^n-3）]
=3•2ⁿ+2³f（2^n-3）=…
=（n-2）•2ⁿ+2^n-2[2^n-（n-1）f（2）+2f（2^n-（n-1））]
=n•2ⁿ，
即a_n=n•2ⁿ．
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）^{2}}$，
令$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2•[$\frac{n+1}{n+2}$]²＞1得n²＞2，n＞$\sqrt{2}$，
即當(dāng)n≥2，n∈N，
都有b₂＜b₃＜…＜b_n，
而b₁=$\frac{1}{2}$＞b₂=$\frac{4}{9}$，
故（b_n）_min=b₂=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列和函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．