Question

【題目】某市教育部門(mén)為了解全市高三學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中，身高不低于1.69米的學(xué)生只有16名，其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計(jì)該市高一學(xué)生的身高概率．

（1）求該市高三學(xué)生身高高于1.70米的概率，并求圖1中、、的值．

（2）若從該市高三學(xué)生中隨機(jī)選取3名學(xué)生，記為身高在的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）若變量滿(mǎn)足且，則稱(chēng)變量滿(mǎn)足近似于正態(tài)分布的概率分布．如果該市高三學(xué)生的身高滿(mǎn)足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的．試判斷該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）概率為0.15．，，．（2）見(jiàn)解析（3）正常

【解析】分析：（1）先利用概率公式求這批學(xué)生的身高高于1.70的概率，再求、、，從而得到a,b,c的值.(2)由于隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)先求、，再根據(jù)已知判斷該市高三學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常.

詳解：（1）由圖2可知，100名樣本學(xué)生中身高高于1.70米共有15名，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.70的概率為0.15．

記為學(xué)生的身高，結(jié)合圖1可得：

，

，

，

又由于組距為0.1，所以，，．

（2）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，

可知從這批學(xué)生中隨機(jī)選取1名，身高在的概率為

，

因?yàn)閺倪@批學(xué)生中隨機(jī)選取3名，相當(dāng)于三次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，

所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，

分布列為：，

	0	1	2	3
	0.027	0.189	0.441	0.343

（或）

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又結(jié)合（1），可得：，

，

所以這批學(xué)生的身高滿(mǎn)足近似于正態(tài)分布的概率分布，應(yīng)該認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的．