Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₄=4，各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b₁+b₂+b₃=7．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

n

2n-1

，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，首項(xiàng)為a₁，
∵a₂=2，a₄=4，
∴

a1+d=2 a1+3d=4

，
解之得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，
由各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，公比設(shè)為q，q＞0．
b₁=1，b₁+b₂+b₃=7．
可得1+q+q²=7，
解得q=2．
∴b_n=2^n-1．
（2）由（1）知c_n=

an

bn

=

n

2n-1

，
∴S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
兩式相減可得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

，
∴S_n=4-

2+n

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．