Question

已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，且　

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

　 （Ⅱ）是數(shù)列的前項(xiàng)的和．問(wèn)是否存在常數(shù)，使得對(duì)都成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，

          ……2分

      

       故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列．……4分  

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即

      

        ……8分

因此，

       要使，對(duì)都成立，

       即（*） ……10分

       ①當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：

       即，

       對(duì)任意正奇數(shù)都成立，

       因?yàn)?img width=77 height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/12/2011071912122570501630.files/image179.gif' >為奇數(shù)）的最小值為1．所以……12分

       ②當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：

       ，      即

       對(duì)任意正偶數(shù)都成立，因?yàn)?img width=2 height=2 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/19/12/2011071912122570501630.files/image061.gif' >為偶數(shù)）的最小值為

所以，存在常數(shù)，使得對(duì)都成立時(shí)的取值范圍為．

……14分