Question

7．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，其焦距4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P在橢圓上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點，且滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=t，求實數(shù)t的范圍；
（3）過點Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）與該橢圓交于M，N兩點，與y軸交于點R，若$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（m，n），求得橢圓的兩焦點，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，再由橢圓的參數(shù)方程，結(jié)合同角的平方關(guān)系和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍；
（3）設(shè)出直線l的方程y=k（x-1），把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，2c=4$\sqrt{2}$，
解得c=2$\sqrt{2}$，a=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）設(shè)P（m，n），F(xiàn)₁（-2$\sqrt{2}$，0）F₂（2$\sqrt{2}$，0）分別為橢圓的左右焦點，
t=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2$\sqrt{2}$-m，-n）•（2$\sqrt{2}$-m，n）=（-2$\sqrt{2}$-m）（2$\sqrt{2}$-m）+n²，
=m²+n²-8，
設(shè)m=3cosα，n=sinα，則m²+n²-8=9cos²α+sin²α-8=8cos²α-7，
由于0≤cos²α≤1，即有t的取值范圍是[-7，1]；
（3）λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ為定值．
理由如下：依題意知，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，y₃），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$①，x₁•x₂=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$②，
因為$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，所以（x₁，y₁）-（0，y₃）=λ[（1，0）-（x₁，y₁）]，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=λ（1-{x}_{1}）}\\{{y}_{1}-{y}_{3}=-λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，又x₁≠1與x₁≠1軸不垂直，所以x₁≠1，
所以λ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，同理μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
所以λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，
將①②代入上式可得λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ為定值．

點評 本題考查橢圓的標準方程及性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式、向量相等及向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．