Question

已知函數(shù)f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）若曲線f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））（-

π

2

＜x₀＜

π

2

）處的切線平行直線y=

3

x，求在點(diǎn)P處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先化簡函數(shù)f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

，化成一個角的正弦函數(shù)，然后求出求f（x）的定義域和值域即可；
（Ⅱ）首先求出f′（x）、f′（x₀），推得cos(x0+

π

6

)=

3

2

；然后根據(jù)-

π

2

＜x₀＜

π

2

，求出x₀+

π

6

的范圍，進(jìn)而求出x₀的值；最后求出點(diǎn)P處的切線方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)
由2cosx≠0，
可得x≠kπ+

π

2

（k∈Z），
所以f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠kπ+

π

2

，（k∈Z）}，
則x+

π

6

≠kπ+

2π

3

(k∈Z)，-2≤y≤2，
所以f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．
（Ⅱ） f/(x)=

3

cosx-sinx，

f/(x0)= 3 cosx0-sinx0 =2cos(x0+ π 6 ) = 3

∴cos(x0+

π

6

)=

3

2

；
又∵-

π

3

＜x0+

π

6

＜

2π

3

，
∴x0+

π

6

=

π

6

，-

π

6

∴x0=0，-

π

3

，
可得切點(diǎn)為P(0，1)或P(-

π

3

，-1)，
切線方程為：y=

3

x+1和y=

3

x+

3 π

3

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的定義域和值域的求法，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了直線方程的求法，屬于中檔題．