【題目】已知斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),且與拋物線C:y2=2px(p>0,p為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M,N.當(dāng)k=時(shí),弦MN的長為.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過點(diǎn)M的直線交拋物線于另一點(diǎn)Q,且直線MQ經(jīng)過點(diǎn)B(1,-1),判斷直線NQ是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）直線方程為，代入曲線的方程，由此利用弦長公式能求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，得到直線MN的方程，同理得到MQ和NQ的方程，將點(diǎn)代入MN的方程，得到，由在直線MQ上，聯(lián)立即可得到結(jié)論.

(1)當(dāng)k=時(shí),直線l的方程為y=(x+1),即x=2y-1.

聯(lián)立消去x得y2-4py+2p=0.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|=×=4,解得p=2或p=-(舍去),

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

(2)設(shè)M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),則k==,則直線MN的方程為y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直線MQ的方程為2x-(t+t2)y+2tt2=0,直線NQ的方程為2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.

由點(diǎn)(-1,0)在直線MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直線MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,將①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,將②代入直線NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直線NQ過定點(diǎn)(1,-4).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinx﹣xcosx．
（1）討論f（x）在（0，2π）上的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）求證：當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f（x）＜ x3 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出如下四個(gè)說法：

①已知p，q都是命題，若p∧q為假命題，則p，q均為假命題；

②命題“若a>b，則3a>3b-1”的否命題為“若a≤b，則3a≤3b-1”；

③命題“x∈R，x2+1≥0”的否定是“x0∈R，+1<0”；

④“a≥0”是“x0∈R，a+x0+1≥0”的充分必要條件．

其中正確說法的序號(hào)是 ( )

A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某小學(xué)對(duì)一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”影響的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班(實(shí)施了數(shù)學(xué)學(xué)前教育)，乙班為對(duì)比班(和甲班一樣進(jìn)行常規(guī)教學(xué)，但沒有實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)前教育)，在期末測(cè)試后得到如下數(shù)據(jù)：

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計(jì)

甲班

30

20

50

乙班

25

25

50

總計(jì)

55

45

100

能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為進(jìn)行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”有積極作用？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：（x﹣1）2+y2=2，圓C2：（x﹣m）2+（y+m）2=m2 ． 圓C2上存在點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，△ABP的面積為1，則正數(shù)m的取值范圍是 ．

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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+=0相切.A,B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn),直線l過B點(diǎn)且與x軸垂直.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)G是橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,延長HG到點(diǎn)Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M,N為線段MB的中點(diǎn),判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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【題目】為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試.統(tǒng)計(jì)得到成績(jī)與專業(yè)的列聯(lián)表如下所示:

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

A班

14

6

20

B班

7

13

20

總計(jì)

21

19

40

則下列說法正確的是 ( )

A. 有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)

B. 有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無關(guān)

C. 有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)

D. 有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線x+y-b=0的距離為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),對(duì)于橢圓C上一點(diǎn)M,若(λ>0,μ>0),求λμ的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修：4﹣2：矩陣與變換
若圓C：x2+y2=1在矩陣 （a＞0，b＞0）對(duì)應(yīng)的變換下變成橢圓E： ，求矩陣A的逆矩陣A﹣1 ．

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