【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx﹣xcosx.
(1)討論f(x)在(0,2π)上的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣x2+2πx﹣m=0在(0,2π)有兩個根,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)求證:當x∈(0, )時,f(x)< x3

【答案】
(1)解:f′(x)=cosx﹣(cosx﹣xsinx)=xsinx,

f'(x)>0x∈(0,π),f'(x)<0

x∈(π,2π)f(x)的遞增區(qū)間(0,π),遞減區(qū)間(π,2π);


(2)解:f(x)=x2﹣2πx+m,

設(shè)h(x)=x2﹣2πx+m=(x﹣π)2+m﹣π2,

,解得,0<m<π2+π;


(3)證明:令g(x)=f(x)﹣ x3,

則g′(x)=x(sinx﹣x),

當x∈(0, )時,設(shè)t(x)=sinx﹣x,則t′(x)=cosx﹣1<0,

所以t(x)在x∈(0, )單調(diào)遞減,t(x)=sinx﹣x<t(0)=0,

即sinx<x,所以g′(x)<0,

所以g(x)在(0, )上單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=0,

所以f(x)< x3


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)設(shè)h(x)=x2﹣2πx+m=(x﹣π)2+m﹣π2 , 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可;(3)令g(x)=f(x)﹣ x3 , 求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)<0,從而證出結(jié)論即可.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若a>0,b>0,則稱 為a,b的調(diào)和平均數(shù).如圖,點C為線段AB上的點,且AC=a,BC=b,點O為線段AB中點,以AB為直徑做半圓,過點C作AB的垂線交半圓于D,連結(jié)OD,AD,BD.過點C作OD的垂線,垂足為E,則圖中線段OD的長度是a,b的算術(shù)平均數(shù),那么圖中表示a,b的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的線段,以及由此得到的不等關(guān)系分別是( )

A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.

(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:|OR||OS|為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=-x3+2ax2-3a2x(a∈R且a≠0).

(1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(-2,f(-2))處的切線方程;

(2)當a>0時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(3)當x∈[2a,2a+2]時,不等式|f′(x)|≤3a恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】求函數(shù)f(x)=3﹣2asinx﹣cos2x,x∈[﹣ ]的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣12x+b,則下列結(jié)論正確的是(
A.函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞增
B.函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞減
C.若b=﹣6,則函數(shù)f(x)的圖象在點(﹣2,f(﹣2))處的切線方程為y=10
D.若b=0,則函數(shù)f(x)的圖象與直線y=10只有一個公共點

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個點,且向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2.

(1)z1+z2=1+i,z1,z2;

(2)|z1+z2|=2,z1-z2為實數(shù),a,b的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):

單價x(元)

9

9.2

9.4

9.6

9.8

10

銷量y(件)

100

94

93

90

85

78

(1)求回歸直線方程求回歸直線方程.

(2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是5元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知斜率為k的直線l經(jīng)過點(-1,0),且與拋物線C:y2=2px(p>0,p為常數(shù))交于不同的兩點M,N.k=時,弦MN的長為.

(1)求拋物線C的標準方程.

(2)過點M的直線交拋物線于另一點Q,且直線MQ經(jīng)過點B(1,-1),判斷直線NQ是否過定點?若過定點,求出該點坐標;若不過定點,請說明理由.

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