Question

曲線y=x²與其在x=±1處的切線所圍成的圖形的面積是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，作出對應(yīng)的圖象，利用積分的幾何意義即可求區(qū)域面積．

解答： 解：曲線y=f（x）=x²的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x，
則f′（1）=2，f′（-1）=-2，
則函數(shù)在x=1處的切點為（1，1），切線斜率k=f′（1）=2，則對應(yīng)的切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1，
函數(shù)在x=-1處的切點為（-1，1），切線斜率k=f′（-1）=-2，則對應(yīng)的切線方程為y-1=-2（x+1），即y=-2x-1，
作出對應(yīng)的圖象為（陰影部分）：
則由積分以及函數(shù)的對稱性可知，所圍成的圖形的面積S=2

∫

1 0

[x2-(2x-1)]dx=2[（

1

3

x3-x2+x）|

1 0

]=2×（

1

3

-1+1）=

2

3

，
故答案為：

2

3

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及積分的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式以及積分公式．