Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|2x-1|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若?x∈R，不等式f（x）＜

1

2

m²+m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）去絕對(duì)值，將含絕對(duì)值不等式變成一次不等式，即可求解；
（2）根據(jù)條件知，f（x）的最小值小于

1

2

m2+m即可，所以求f（x）的最小值，解關(guān)于m的一元二次不等式即得m的取值范圍．

解答： 解：（1）x＜

1

2

時(shí)，由原不等式得：2-x+1-2x＞2，解得x＜

1

3

；

1

2

≤x≤2時(shí)，由原不等式得：2-x+2x-1＞2，解得x＞1；
x＞2時(shí)，由原不等式得：x-2+2x-1＞2，解得x＞

5

3

；
∴原不等式的解集為(-∞，

1

3

)∪(1，+∞)；
（2）f(x)=

3-3x x＜ 1 2 x+1 1 2 ≤x≤2 3x-3 x＞2

，可知f（x）的最小值為

3

2

；
∴

3

2

＜

1

2

m2+m解得m＜-3，或m＞1；
∴m的取值范圍為（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查含絕對(duì)值不等式的解法，一元二次不等式的解法，對(duì)于第二問(wèn)，要弄清讓f（x）的最小值滿足不等式即得m的取值范圍．