Question

已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線與x軸交于點M，過點M作圓C：（x-2）²+y²=1的兩條切線，切點為A，B，|AB|=

4 2

3

．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）過拋物線E上的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P，Q，若P，Q，O（O為原點）三點共線，求點N的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)AB與x軸交于點R，求出|AR|，|CR|，即可求拋物線E的方程；
（Ⅱ）求出圓D，C的方程，兩圓相減，可得直線PQ的方程，利用直線PQ經(jīng)過點O，即可求點N的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得M（-

p

2

，0），C（2，0）．
設(shè)AB與x軸交于點R，
由圓的對稱性可知，|AR|=

2 2

3

．
于是|CR|=

|AC|2+|AR|2

=

1

3

，
所以|CM|=

|AC|

sin∠AMC

=

|AC|

sin∠CAR

=3，
即2+

p

2

=3，p=2．
故拋物線E的方程為y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)N（s，t）．
P，Q是NC為直徑的圓D與圓C的兩交點．
圓D方程為（x-

s+2

2

）²+（y-

t

2

）²=

(s-2)2+t2

4

，
即x²+y²-（s+2）x-ty+2s=0．①
又圓C方程為x²+y²-4x+3=0．②
②-①得（s-2）x+ty+3-2s=0．③…（9分）
P，Q兩點坐標是方程①和②的解，也是方程③的解，從而③為直線PQ的方程．
因為直線PQ經(jīng)過點O，所以3-2s=0，s=

3

2

．
故點N坐標為（

3

2

，

6

）或（

3

2

，-

6

）．…（12分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查圓的方程，考查兩圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求得PQ的方程是關(guān)鍵．