Question

已知曲線C的方程是y²=4x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上的點(diǎn)，且|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數(shù)列，當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0）時(shí)，求B點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線的焦半徑公式把|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|用三點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)表示，根據(jù)|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數(shù)列把B的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)表示，然后寫出AD的斜率，AD的中垂線的斜率，由斜率之積等于-1得到B的橫坐標(biāo)的值，代入拋物線方程求得B的坐標(biāo)．

解答： 由拋物線的定義，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數(shù)列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=

x1+x3

2

．
∵線段AD的中點(diǎn)為（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

），且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0），
∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=

y1+y2 2

x1+x2 2 -3

．
又k_AD=

y3-y1

x3-x1

，
∴

y3-y1

x3-x1

•

y1+y3

x1+x3-6

=-1，
即

4x3-4x1

(x32-x12)-6(x3-x1)

=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，
又x₂=

x1+x3

2

，
∴x₂=1．
∵點(diǎn)B在拋物線上，
∴y22=4x2=4，y₂=±2．
∴B（1，2）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了拋物線的方程，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．