Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．
（1）證明：△CBF≌△CDF；
（2）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,相似三角形的性質(zhì)

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA，即可證明△CBF≌△CDF．
（2）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答： （1）證明：在△ABC和△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，

BC=DC ∠BCA=∠DCA CF=CF

，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
（2）解：當(dāng)EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD=∠BAD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BCD，
∴∠EFD=∠BAD．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．