Question

7．若直線y=x+k與曲線x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個公共點，則k的取值范圍是（　�。�

• A． k=-$\sqrt{2}$或-1＜k≤1
• B． k≥$\sqrt{2}$或k≤-$\sqrt{2}$
• C． -$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$
• D． k=±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 曲線x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示一個半圓（單位圓位于x軸及x軸右側(cè)的部分）．當直線y=x+k經(jīng)過點A、B時，分別求得k的值，再求出當直線y=x+k和半圓相切時k的值，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：曲線x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$，即x²+y²=1 （x≥0），表示一個半圓（單位圓位于x軸及x軸右側(cè)的部分）．
如圖，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
當直線y=x+k經(jīng)過點A時，1=0+k，求得 k=1；
當直線y=x+k經(jīng)過點B、點C時，0=1+k，求得 k=-1；
當直線y=x+k和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，
可得1=$\frac{|0-0+k|}{\sqrt{2}}$，求得k=-$\sqrt{2}$，或k=$\sqrt{2}$（舍去），
故要求的實數(shù)k的范圍為k=-$\sqrt{2}$或-1＜k≤1
故選：A．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．