Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，對(duì)于任意的p，q∈N^•，有a_p+q=a_p+a_q．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：a_n=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+（-1）^n-1$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$（n∈N^•），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，可得a_n+1-a_n=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由a_n=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+（-1）^n-1$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$（n∈N^•），知a_n-1=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+$（-1）^{n-2}\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$（n≥2），
兩式作差可得（-1）^n-1$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$=2（n≥2），即b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）．

解答 解：（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，
則a_n=2n；
（2）∵a_n=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+（-1）^n-1$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$（n∈N^•），①
∴a_n-1=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+$（-1）^{n-2}\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$（n≥2），②
①-②得：（-1）^n-1$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$=2（n≥2），
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{_{1}}{3}$，∴b₁=6滿足上式，
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了運(yùn)用特值法確定數(shù)列為等差數(shù)列，訓(xùn)練了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．