Question

【題目】已知橢圓的左焦點為F1有一小球A 從F1處以速度v開始沿直線運動，經(jīng)橢圓壁反射（無論經(jīng)過幾次反射速度大小始終保持不變，小球半徑忽略不計），若小球第一次回到F1時，它所用的最長時間是最短時間的5倍，則橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】假設(shè)橢圓的長軸在x軸，短軸在y軸上，分為以下三種情況：

球從F1沿x軸向左運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到F1的路程是2(a-c)；

球從F1沿x軸向右運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到F1的路程是2(a+c)；

球從F1沿x軸向上(或向下)運動，碰到橢圓上的點A，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個焦點F2，再彈到橢圓上的點B，經(jīng)過點B反彈后經(jīng)過焦點F2，此時小球經(jīng)過的路程是4a.

綜上所述，從點F1沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓反彈后第一次回到點F1時，小球經(jīng)過的最大路程是4a，最小路程是2(a-c)，

所以由題意可知4a=10(a-c)，即6a=10c，得，

所以橢圓的離心率為.

本題選擇C選項.