Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2 ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意a∈[4，10]，x1 ， x2∈[1，2]，恒有| |≤ 成立，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣（a+2）+2x= ，

a≤0時(shí)，函數(shù)在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

0＜a＜2時(shí)，函數(shù)在（0， ），（1，+∞）遞增，在（ ，1）遞減，

a=2時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）遞增，

a＞2時(shí)，函數(shù)在（0，1），（ ，+∞）遞增，在（1， ）遞減

（2）解：| |≤ 成立，

即|f（x1）﹣f（x2）|≤λ| ﹣ |恒成立，

不妨設(shè)x2＞x1，∵a∈[4，10]時(shí)，f（x）在[1，2]遞減，

則f（x1）﹣f（x2）≤λ（ ﹣ ），得f（x1）﹣ ≤f（x2）﹣ ，

設(shè)g（x）=f（x）﹣ =alnx﹣（a+2）x+x2﹣ ，

故對(duì)于任意的a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，x2＞x1，g（x1）≤g（x2）恒成立，

故g（x）=f（x）﹣ 在[1，2]遞增，

g′（x）= ≥0在x∈[1，2]恒成立，

故2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

即a（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

∵x∈[1，2]時(shí)，﹣x2+x≤0，

∴只需10（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

即2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

設(shè)h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，則h（2）=﹣12+λ≥0，

故λ≥12，

故實(shí)數(shù)λ的范圍是[12，+∞）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，根據(jù)x的范圍得2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，設(shè)h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出λ的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．