Question

11．已知A、B、C三點(diǎn)共線，等差數(shù)列{a_n}滿足$\overrightarrow{OA}={a}_{4}\overrightarrow{OB}+（{a}_{7}+1）\overrightarrow{OC}$，a₃-a₁₁+a₁₄=-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=|a_n|，試求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用向量共線定理可得：a₄+（a₇+1）=1，又a₃-a₁₁+a₁₄=-1．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（II）由a_n≥0，解得$n≤\frac{11}{2}$；當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=S_n．當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＜0．T_n=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：（I）∵A、B、C三點(diǎn)共線，等差數(shù)列{a_n}滿足$\overrightarrow{OA}={a}_{4}\overrightarrow{OB}+（{a}_{7}+1）\overrightarrow{OC}$，
∴a₄+（a₇+1）=1，
又a₃-a₁₁+a₁₄=-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=0}\\{{a}_{1}+5d=-1}\end{array}\right.$，解得a₁=9，d=-2．
∴a_n=11-2n，S_n=-n²+10n．
（II）由a_n≥0，解得$n≤\frac{11}{2}$；
∴當(dāng)n≤5時(shí)，${T}_{n}={S}_{n}=-{n}^{2}$+10n．
當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＜0．
∴T_n=2S₅-S_n=n²-10n+50．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、含絕對(duì)值的數(shù)列求和問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．