【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(﹣x2+ax)ex(x∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=(﹣x2+2x)ex,f′(x)=﹣(x2﹣2)ex
令f′(x)>0,得x2﹣2<0,∴﹣ <x<
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣ , );
(2)解:f′(x)=[﹣x2+(a﹣2)x+a]ex,若f(x)在(﹣1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,即當(dāng)﹣1<x<1時(shí),f′(x)≥0,
即﹣x2+(a﹣2)x+a≥0對(duì)x∈(﹣1,1)恒成立,
即a≥ 對(duì)x∈(﹣1,1)恒成立,
令y= ,則y′=
∴y= 在(﹣1,1)上單調(diào)遞增,∴y<1+1﹣ =
∴
當(dāng)a= 時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),f′(x)=0
∴a的取值范圍是[ ,+∞).
【解析】(1)求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)>0,可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)f′(x)=[﹣x2+(a﹣2)x+a]ex , 若f(x)在(﹣1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,即當(dāng)﹣1<x<1時(shí),f′(x)≥0,即﹣x2+(a﹣2)x+a≥0對(duì)x∈(﹣1,1)恒成立,分離參數(shù)求最值,即可求a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}當(dāng)n≥2時(shí)滿足 = + ,且a3a5a7= , + + =9,Sn是數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和,則S4= .
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時(shí),討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為 ,若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣=0截得的弦長(zhǎng)為2
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線y=k(x﹣1),k≠0與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問:在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得 為定值?若存在,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】在數(shù)列{an}中,設(shè)ai=2m(i∈N* , 3m﹣2≤i<3m+1,m∈N*),Si=ai+ai+3+ai+6+ai+9+ai+12 , 則滿足Si∈[1000,3000]的i的值為 .
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【題目】用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來(lái),如:“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球,而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái),以此類推,下列各式中,其展開式可用來(lái)表示從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、2個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是
①(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2
②(1+a3)(1+b+b2+b3)(1+c)2
③(1+a)3(1+b+b2+b3)(1+c2)
④(1+a3)(1+b)3(1+c+c2)
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【題目】某校舉行元旦匯演,七位評(píng)委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)如莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的方差是 .
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【題目】設(shè)橢圓M:的左頂點(diǎn)為、中心為,若橢圓M過點(diǎn),且 .
(1)求橢圓M的方程;
(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上,試求△APQ面積的最大值;
(3)過點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交橢圓M于兩點(diǎn),且,求證:直線恒過一個(gè)定點(diǎn).
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,, 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.
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