Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，，， 分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明線與面垂直，根據(jù)判定定理，需要證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，根據(jù)中點(diǎn)易證明,所以可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，即證明和；

（Ⅱ）根據(jù)上一問(wèn)所證明的垂直關(guān)系，可以建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè),根據(jù),表示點(diǎn)的坐標(biāo)，首先求平面的法向量，以及平面的法向量，并根據(jù)建立方程，求.

試題解析：（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?/span>，，

所以．

由分別為的中點(diǎn)，得，

所以．

因?yàn)閭?cè)面底面，且，

所以底面．

又因?yàn)?/span>底面，

所以．

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?/span>底面，，所以兩兩垂直，故以

分別為軸、軸和軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以，，，

設(shè)，則，

所以，，

易得平面的法向量．

設(shè)平面的法向量為，

由，，得

令， 得．

因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

所以，即，

所以 ，

解得，或（舍）．

綜上所得：